1) Identificamos el dominio de $f(x)$ Ese denominador nunca vale cero, por lo tanto, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.

- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$ $ \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1+x^2} = 0 $ $ \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{1+x^2} = 0 $ Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y=0$. 3) Calculamos $f'(x)$: $ f'(x) = \frac{(1+x^2)- x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} $ Reacomodando un poco: $ f'(x) = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} $ 4) Igualamos $f'(x)$ a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:

$  \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}  = 0$

  $ 1 - x^2 = 0 $ Resolviendo la ecuación, encontramos dos puntos críticos: $x = 1$ y $x = -1$. 5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces: a) $x < -1$ b) $-1 < x < 1$ c) $x > 1$ 6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para $x < -1$

$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.

b) Para $-1 < x < 1$ 

$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. 

c) Para $x > 1$

$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. 

  Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: